2로 이루어진 평평한 격자와 오직 3으로만 지어진 정육면체 사이의 상태 공간 대결.
영어로 집필하고 편집했습니다. 이 한국어 판은 기계 번역으로 만들어졌으며, 정확성이 중요한 경우에는 영어 원문이 기준이 됩니다. 영어 원문 읽기 →
두 게임 모두 숫자 밀기 퍼즐입니다. 2048에서는 열여섯 칸짜리 4×4 격자를 네 방향 중 하나로 밀며, 같은 타일이 부딪히면 두 배가 되어 2의 거듭제곱을 타고 올라갑니다. 3927에서는 스물일곱 칸짜리 3×3×3 정육면체를 여섯 방향 중 하나로 밀며, 같은 블록 세 개가 부딪히면 세 배가 되어 3의 거듭제곱, 즉 3, 9, 27을 타고 올라가는데, 이것이 바로 이름을 이루는 숫자들입니다. 1 어느 쪽이 더 어려운가를 묻는 것은 사실 어느 게임이 가능한 국면의 바다를 더 크게 품고 있는가를 묻는 것입니다. 그러니 그 물의 양을 재어 봅시다.
보드의 원래 크기는 (칸당 기호의 수)cells로 커집니다. 칸의 수가 지수 자리에 있고, 모든 지렛대 효과는 바로 거기서 나옵니다. 2048은 열여섯 칸, 3927은 스물일곱 칸을 제공합니다. 칸당 알파벳을 고정하면 정육면체는 이미 대략 a27−16 = a11배만큼 더 크며, 기호가 열 개인 알파벳이라면 그것만으로도 다른 무엇을 따지기 전에 상태가 천억 배 더 많습니다. 진짜 동력은 3진법 산술이 아니라 늘어난 차원입니다.
각 칸은 비어 있거나 타일 값 하나를 담습니다. 256 타일에서 상한을 둔 2048이라면, 한 칸은 빈칸에 {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}을 더한 아홉 가지 기호 가운데 하나를 말합니다. 정확히 이 알파벳으로 구성한 한 발표된 상한은 4×4 보드를 약 5.63 × 1014개의 국면으로 추정하며, 저자들은 이 천장이 실제로는 결코 나타날 수 없는 불가능한 보드까지 포함한다고 솔직하게 밝힙니다. 2 3927에 비슷한 깊이, 즉 빈칸에 {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}을 더한 여덟 가지 기호를 주면 원래 천장은 827 ≈ 2.4 × 1024입니다. 3진법 때문에 3927은 2진법일 때보다 칸당 기호가 적지만, 추가된 열한 칸이 그 하늘을 되돌려 줍니다.
값의 사다리를 조금 더 깊이 내리면 3927의 천장은 2048의 천장을 10억 배에서 1000억 배 사이만큼 앞지릅니다. 정육면체는 지수에서 이깁니다.
아직 아무도 정규 크기 2048의 도달 가능한 상태를 전부 열거하지 못했으며, 3927은 말할 것도 없습니다. 하지만 연구자들은 축소된 2048 보드를 완전히 풀어 냈고, 그 정확한 수치가 우리의 추정에 닻을 내려 줍니다. 3×3 크기의 2048 보드에는 도달 가능한 상태가 48,713,519개 있습니다. 이를 4×3으로 늘리면 그 수는 1조를 훌쩍 넘어 1,152,817,492,752개의 상태가 되며, 그중 서로 다른 이동 직후 국면은 739,648,886,170개입니다. 3 칸이 하나 늘 때마다 세계가 몇 배로 불어납니다. 그 곡선을 27칸까지 외삽하면 어떤 정직한 표도 단 하나의 수를 찍어 낼 수 없습니다.
| 속성 | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| 보드 | 4×4 평면 | 3×3×3 정육면체 |
| 칸 수 | 16 | 27 |
| 진법 | 2 | 3 |
| 합치기 규칙 | 같은 것 2개 → 두 배 | 같은 것 3개 → 세 배 |
| 밀기 방향 | 4 | 6 |
| 칸당 기호 수(같은 깊이 기준) | 9 | 8 |
| 원래 천장(불가능한 보드 포함) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| 인용된 정밀 상한 | 5.63 × 10¹⁴ | 발표된 것 없음 |
| 정확한 수, 4×3 부분 보드 | 1.15 × 10¹² | , |
여기 나오는 큰 수는 모두 상한이거나 자릿수 수준의 추정치이며, 결코 전수 조사가 아닙니다. 천장에는 규칙대로 플레이해서는 결코 도달할 수 없는 보드, 예컨대 외톨이 타일 하나만 놓인 보드(두 게임 모두 타일 두 개로 시작하고, 매 이동마다 새 타일이 하나씩 추가되므로, 어떤 보드도 타일이 하나만 남는 일은 결코 없습니다)나 어떤 합치기 순서로도 만들 수 없는 값이 포함됩니다. 2048 수치는 동료 평가를 거친 연구에서 가져왔고, 3927 수치는 같은 방식으로 계산한 저 자신의 어림 천장이므로 “이보다 크지는 않으며, 아마 훨씬 적을 것”으로 읽어야 합니다. 두 게임의 규칙은 가정한 것이 아니라 게임의 설계 문서에서 확인한 것입니다.
상태 공간의 크기가 지도라면, 분기 계수는 그 지도를 얼마나 빨리 걸어가는가입니다. 매 턴 플레이어는 방향을 고르는데, 2048에서는 최대 네 방향, 3927에서는 최대 여섯 방향이므로 정육면체는 한 수마다 실제 선택지를 50퍼센트 더 제공합니다. 그다음 우연이 개입합니다. 게임이 무작위 빈칸에 새 타일을 떨어뜨리는 것입니다. 2048은 2나 4를 낳으므로 최대 열다섯 개의 빈칸 각각에 대략 두 가지 결과가 있고, 3927은 언제나 3 하나만 낳지만 최대 스물여섯 개의 빈칸 중 어디에든 들어갈 수 있습니다. 1 결정과 우연을 곱하면 3927의 게임 트리는 매 수마다 더 넓게 펼쳐지며, 세 개 합치기는 두 개 합치기보다 드물기 때문에 판이 더 오래 이어지는 경향이 있어 트리를 넓힐 뿐 아니라 깊게도 만듭니다.
사람에게 “더 어렵다”는 것은 느낌의 문제이고, 2048도 만만한 상대가 아닙니다. 일반적인 보드에서 임의의 국면이 목표 타일에 도달할 수 있는지 판정하는 문제는 NP-난해임이 증명되어 있습니다. 4 하지만 조합론적 대상으로서 3927은 넓고도 정직한 차이로 더 큰 짐승입니다. 지수에는 더 많은 칸이, 분기에는 더 많은 방향이, 깊이에는 더 긴 게임이 있습니다. 이름을 준 3진법 산술은 거의 미끼에 가깝습니다. 어려움은 애초에 3에 있지 않았습니다. 세 번째 차원에 있었습니다.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.