왜 3인가

오직 한 숫자만 아는 정육면체

3927은 2048을 3차원으로, 그리고 다른 산술로 다시 지은 게임입니다. 보드는 스물일곱 칸짜리 3×3×3 정육면체이며, 여러분은 정육면체 전체를 여섯 방향 중 어느 쪽으로든 밉니다. 같은 값의 타일 세 개가 부딪히면 두 배가 되는 것이 아니라 세 배가 됩니다. 3은 9가 되고, 9는 27이 되며, 계속해서 81, 243, 729로 이어집니다. 이름 자체가 처음 세 타일 3·9·27을 세어 올라가며, 설계의 모든 것이 처음부터 끝까지 3입니다. 축마다 셋, 합치기 한 번에 셋, 성장 배수도 셋입니다. ⁴

그 조상은 고집스럽게 2진법입니다. 고전적인 2048은 2, 4, 8, 16…처럼 2의 거듭제곱을 다루며 타일을 둘씩 합칩니다. 2는 동전 던지기의 수, 트랜지스터의 수, 비트의 수입니다. 그래서 호기심 많은 플레이어가 자연스럽게 던지는 질문은, 2를 3으로 바꾼 것이 그저 새로움일 뿐인지, 아니면 3이 줄곧 진짜 장점을 숨기고 있었는지입니다. 알고 보니 수학에는 이에 대한 의견이 있고, 그 의견은 놀라울 만큼 확고합니다.

수를 세는 비용

수를 저장하는 기계를 만들어야 한다고 상상해 보십시오. 자릿수 하나하나에는 톱니바퀴든, 전선이든, 진공관이든 비용이 들며, 그 비용은 밑에 비례해 커집니다. b진법의 한 자리는 구별 가능한 상태가 b개 필요하기 때문입니다. 하지만 밑이 크면 어떤 수에 이르는 데 필요한 자릿수가 더 적어지기도 합니다. 여기에는 긴장이 있으며, 그 긴장에는 이름이 있습니다. 기수 경제성(radix economy)입니다.

형식적으로, 수 N을 b진법으로 나타내는 경제성은 밑과 자릿수를 곱한 값, E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋입니다. ¹ 큰 밑은 짧은 수를 주지만 자릿수가 비싸고, 작은 밑은 자릿수당 싸지만 길게 늘어집니다. 두 극단 사이 어딘가에 최적점이 있으며, 그곳은 우리 기술 대부분이 자리 잡은 곳이 아닙니다.

최적의 밑은 무리수다

N이 클 때 경제성은 (b ÷ ln b) · ln N처럼 행동하므로, 밑의 효율성은 전적으로 b ÷ ln b라는 인자에 달려 있습니다. 약간의 미적분으로 이를 최소화하면 답은 정확하면서도 기묘합니다. 가장 경제적인 밑은 약 2.71828인 e입니다. ¹ 물론 자릿수당 2.718개의 상태를 가진 컴퓨터를 만들 수는 없습니다. 하지만 그 이상에 가장 가까운 정수가 무엇인지는 물을 수 있으며, 2와 10을 모두 제치고 이기는 것은 3입니다.

이 차이는 탁상공론이 아닙니다. 3진법은 이론적 최적값에서 0.5퍼센트 이내에 들어오는 반면, 2진법은 6퍼센트의 추가 비용을, 10진법은 무려 60퍼센트를 치릅니다. 구체적으로 느껴 보자면, 0부터 999,999까지의 모든 수를 쓰려면 2진법은 20자리, 10진법은 6자리가 필요하지만 3진법은 13자리면 충분하며, 13×3은 20×2보다 작은 합계입니다. ¹ 3은 정말로 더 적은 구조에 더 많은 셈을 담습니다.

자연에게 가장 효율적으로 수를 세는 방법을 물었더니 무리수로 답했습니다. 그 답에 가장 가까운 정수가 3입니다.

그것을 믿은 기계

이것은 교과서 속 호기심에 그치지 않습니다. 1958년 모스크바 국립대학교에서 Nikolay Brusentsov와 수학자 Sergei Sobolev가 이끈 팀이 지금까지 만들어진 가장 유명한 3진법 컴퓨터 Setun을 만들었습니다. ³ 서방이 비트에 몸을 맡기던 시절, Setun은 트릿(trit)으로 셈을 했고, 특히 아름다운 방식을 썼습니다. 바로 세 자릿값이 0, 1, 2가 아니라 −1, 0, +1인 평형 3진법입니다. ²

이 대칭은 곧바로 보답합니다. 수가 자기 부호를 스스로 지니므로 별도의 부호 비트도, 2의 보수라는 곡예도 필요 없으며, 어떤 값의 부호를 바꾸려면 모든 자릿수를 뒤집기만 하면 됩니다. 반올림과 버림이 같은 연산이 됩니다. Donald Knuth는 이를 “아마도 모든 수 체계 가운데 가장 아름다운 것”이라고 평했습니다. ² 트랜지스터가 없었던 Brusentsov는 한 쌍의 페라이트 코어에서 안정된 세 상태를 끌어냈습니다. Setun은 약 50대가 만들어졌고, 대부분은 소련 전역의 대학에 보내져 수학 교육에 쓰였습니다. ³ 이 기계는 작동했고, 저렴했으며, 조용히 이웃들을 앞서 있었습니다.

3의 게임이 더 우아한가?

여기서 신중한 필자는 스스로를 억눌러야 합니다. 기수 경제성은 특정한 비용 가정 아래에서 수를 저장하고 처리하는 일에 관한 주장이며, 수학자들조차 그 가정이 근사에 불과하다고 지적합니다. 더 완전하게 따져 보면 2진법이 다시 정당화되는 경우가 많고, 그래서 세상은 2진법으로 돌아갑니다. ¹ 합치기 퍼즐은 기억 장치가 아닙니다. 커피 한잔하며 쉬는 동안 진공관 개수를 최소화하려는 사람은 없습니다. 그러니 3927은 실질적인 공학적 의미에서 “더 효율적”이지 않으며, 그렇다고 말하는 것은 속임수일 것입니다.

그럼에도 불구하고. 이 게임은 참된 무언가를 물려받습니다. 세 배씩 성장하면 더 적고 더 결정적인 수로 큰 수에 도달하며, 합치기 한 번이 더 많은 일을 하고, 3×3×3 정육면체는 세 개 융합이 모든 방향으로 숨 쉴 수 있게 해 주는 가장 작은 보드입니다. ⁴ 이 설계는 우연히 3에 걸려 넘어진 것이 아니라, 전자 계산의 여명기부터 셈의 수학이 조용히 선호해 온 정수, Setun의 기술자들이 일부러 고른 바로 그 정수에 내려앉았습니다. 2는 우리가 기본값으로 택한 수입니다. 3은 동전 던지기가 아니라 효율이 최종 결정권을 가졌다면 우리가 택했을 수입니다. 타일이 공교롭게도 3, 9, 27을 이룬다는 것은 우주가 이미 하고 있던 작은 농담입니다.