눈대중으로 점구름 사이에 직선을 맞추고 확정한 뒤, 최소제곱 직선에 얼마나 가까웠는지 확인하세요.
플레이 방법
흩어진 점들과, y = 0에서 수평으로 시작하는 직선 y = m·x + b가 주어집니다. 슬라이더를 쓰거나 직선을 드래그해 기울기 m과 절편 b를 정합니다. 각 점에서 직선까지 빨간 잔차선이 그어져 직선이 얼마나 벗어났는지 보여 줍니다. Exact와 Best Fit에서는 플레이하는 동안 오차가 숨겨집니다. 눈으로 맞춤 정도를 판단한 다음 Lock in을 누르세요. 결과에는 오차, 목표, 정확도, 그리고 목표로 했어야 할 직선이 점선으로 표시됩니다.
Exact: 4~8개의 점이 숨겨진 직선 위에 정확히 놓여 있으므로, 완벽하게 확정하면 오차는 0입니다.
Best Fit: 8~16개의 점이 직선 주위에 흩어져 있어 모든 점을 지나는 직선은 없습니다. 기준값은 최소제곱 직선, 즉 잔차 제곱합이 가장 작은 직선의 오차입니다.
Drift: 점들이 30초 동안 움직이며, 슬라이더로 직선을 점들에 계속 맞춰야 합니다. 실시간 오차가 표시됩니다.
오차는 잔차의 제곱합입니다. 각 점과 직선 사이의 수직 거리를 제곱해 모두 더합니다.
점수(Exact와 Best Fit): 정확도 × (900 + 속도 보너스). 여기서 정확도는 1 / (1 + 점 하나당 기준값을 넘는 오차)이고, 속도 보너스는 100에서 시작해 120초가 지나면 0으로 떨어집니다. Drift는 30초 중 좋은 맞춤을 유지한 비율에 따라 1,000점 만점으로 점수를 매깁니다.
Give up을 누르면 최적의 직선이 표시되고 0점이 됩니다.
풀이 예시
Exact에서는 격자에서 두 점을 읽습니다. 그 점이 (0, 3)과 (2, 4)라면 직선은 가로로 2 갈 때마다 1씩 올라가므로 m = 0.5이고, y축과 3에서 만나므로 b = 3입니다. 이 값들을 설정하고 확정하면 오차는 0, 정확도는 100%입니다.
Best Fit에서 점이 8개이고 기준값이 15.3이라고 해 봅시다. 오차가 23.3인 직선으로 확정하면 기준값보다 8, 즉 점 하나당 1이 많으므로 정확도는 1 / (1 + 1) = 50%입니다. 속도 보너스가 75인 30초 후에 확정하면 점수는 0.5 × 975 = 488입니다.
게임 모드
Daily: 매일 챌린지와 레벨마다 모두에게 같은 점이 주어집니다(날짜는 UTC 자정에 바뀝니다). 리더보드에는 챌린지와 레벨마다 첫 번째 Daily만 반영되며, 첫 조작을 한 순간부터 플레이한 것으로 간주됩니다.
Practice: 라운드마다 새로운 무작위 점이 나옵니다. 다른 점을 원하면 New를 누르세요.
레벨 1~5는 점의 수를 늘리고, Best Fit과 Drift에서는 흩어짐도 커집니다. Daily와 Practice는 챌린지와 레벨마다 별도의 리더보드가 있습니다.
컨트롤
데스크톱: 기울기와 절편 슬라이더를 드래그하거나 직선 자체를 드래그합니다. 가운데는 절편을 옮기고, 양 끝은 기울기를 바꿉니다. 마음에 들면 Lock in을 누르세요.
휴대폰 및 태블릿: 손가락으로 슬라이더나 직선을 드래그한 다음 Lock in을 탭하세요. 그래프 위의 버튼을 탭하면 챌린지, Daily 또는 Practice, 레벨을 바꿀 수 있습니다.
팁과 전략
먼저 절편을 정해 직선이 점구름의 가운데를 지나게 한 다음, 직선 위와 아래에 있는 점의 수가 거의 같아질 때까지 기울기를 조정하세요.
최소제곱 직선은 항상 평균점, 즉 x의 평균과 y의 평균을 지납니다(단순 선형 회귀: 수치적 성질). 그러니 점구름의 중심을 찾아 그 점을 축으로 직선을 돌리세요.
제곱하기 때문에 크게 벗어난 점이 작게 벗어난 점보다 훨씬 크게 작용합니다. 길이가 두 배인 잔차는 오차를 네 배로 늘리므로, 멀리 떨어진 점이 크게 벗어난 채로 두지 마세요.
Exact에서는 격자선 위에 놓인 두 점을 읽고, 세로 변화량을 가로 변화량으로 나누어 기울기를 구하세요.
Drift에서는 기울기를 일정하게 유지하고 절편으로 점구름을 따라가세요.
무엇을 배울 것인가
Line of Fit은 선형 회귀를 눈으로 보고 느낄 수 있게 해 줍니다. 기울기와 절편이 하는 일, 잔차가 무엇인지, 그리고 최적의 직선이 왜 점들을 지나기보다 점들 사이에서 균형을 잡는지 알 수 있습니다.
기술: 일차함수, 기울기와 절편, 산점도, 잔차, 최소제곱법
최적의 대상: 대략 8~12학년(13세 이상)
학부모와 교사를 위한: 먼저 눈대중으로 맞춘 뒤 최소제곱 직선과 비교하는 것은 공식에 들어가는 좋은 방법이며, Exact 라운드는 그래프에서 기울기와 절편을 읽는 연습이 됩니다.
기원
게임이 당신을 평가하는 기준이 되는 직선은 최소제곱 직선이다. 최소제곱법에 대한 최초의 명확한 설명은 아드리앵마리 르장드르가 1805년 혜성의 궤도를 구하는 저작에서 발표했다. 1809년에는 카를 프리드리히 가우스가 자신의 방법을 발표하며 1795년부터 이 방법을 알고 있었다고 주장했다(최소제곱법: 역사). 주세페 피아치가 1801년 소행성 세레스를 발견하고 40일 동안 추적한 뒤, 천문학자 프란츠 크사버 폰 차흐가 세레스를 다시 찾을 수 있게 해 준 예측은 가우스의 최소제곱 계산뿐이었다(최소제곱법: 방법).
회귀라는 말은 프랜시스 골턴에게서 나왔다. 그는 19세기에 키 큰 조상의 후손들의 키가 평균 쪽으로 되돌아가는 경향을 가리키는 데 이 말을 썼다(회귀 분석: 역사). 입력 하나와 출력 하나를 가진 점들에 하나의 직선 y = m·x + b를 맞추는 것이 단순 선형 회귀다(단순 선형 회귀).
Line of Fit 정보
Line of Fit은 PlayPendium의 오리지널 게임입니다. 점은 시드로부터 생성되므로 Daily는 모두에게 같으며, 비교 대상인 최소제곱 직선은 점 집합마다 정확하게 계산됩니다. 설치나 계정 없이 브라우저에서 실행됩니다.
